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内容导航：1、杨辉三角的规律：从二项式定理到多项式定理2、杨辉三角的规律，杨辉三角的规律图解1、杨辉三角的规律：从二项式定理到多项式定理
今天来说说二项式定理与多项式定理。
二项式定理是多项式乘法法则（基于乘法分配律）的推广，最早由牛顿给出，莱布尼茨在此基础上给出了多项式定理（在这里两人仍要争斗一番）。
首先，我们知道多项式乘法法则：
现在我们来研究二项式展开的各项：由于是n个(a+b)相乘,每个(a+b)在相乘时有两种选择,选a或b,而且每个(a+b)中的a或b都选定后,才能得到展开式的一项。因此,由分步乘法计数原理可知,在合并同类项之前,的展开式共有2n项,其中每一项都是的形式。对于某个k(k=0,1,…,n),对应的项是由nーk个(a+b)中选a,k个(a+b)中选b得到的。由于b选定后,a的选法也随之确定,因此,出现的次数相当于从n个(a+b)中取k个b的组合数.这样,的展开式中,共有个,将它们合并同类项,就可以得到二项展开式：
这便是二项式定理。
的展开式共有n+1项,式中的叫做二项展开式的通项。
上述二项式定理还可以简记为：
二项展开式的系数规律，早在北宋时我国数学家贾宪就已发现，遗憾的是其著作佚失，但其主要内容被杨辉的著作《详解九章算法》(1261)所抄录，因此传世，该书中的“开方作法本源”图，注明“贾宪用此术”。这就是著名的“贾宪三角”，或称“杨辉三角”。
在欧洲，帕斯卡（1623-1662）在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形。后来牛顿于1664年、1665年间提出了一般形式的二项式展开公式，并推广到有理数指数的情形。18世纪，瑞士的欧拉和意大利的卡斯蒂隆又分别推广了实数指数情形的二项式定理。
我们再来看看莱布尼茨的多项式定理：
这个展开式的通项该如何确定呢？
这个式子由n个因式相乘而成的,每个在相乘时都有m个选择,选a₁或a₂或…,而且每个因式中的a₁或a₂或…都选定后,才能得到展开式的一项。因此,由分步乘法计数原理可知,在合并同类项之前,展开式共有项，其中每一项都是形如：
(n₁+n₂+…+=n且n₁,n₂,…是非负整数).
项可以看成：在n个因式中首先任取出n₁个因式,而在这n₁个因式中都是选择a₁,然后再从剩下的(n-n₁)个因式中任取出n₂个因式,而在这n₂个因式中都是选择a₂,…最后从剩下的个因式中都选择相乘而来的。这样项
出现的次数就是它的系数。
因为
因而展开式的通项为
上式中n₁+n₂+…+=n且n₁,n₂,…是非负整数，这个公式叫做多项式定理，它是二项式定理的推广。
多项式定理的本质其实是次数的分配。的展开式就是把次数n分配给每一个a(由于可以分得0次方,所以每个a分到的次数是非负整数).
现在思考的展开式共有多少项？(合并同类项后)。
这就相当于求不定方程n₁+n₂+…+=n有多少组非负整数解。这是排列组合中的隔板法模型。等价于不定方程 x₁+x₂+…+=n+m ①(其中xi=ni+1 ,i=1,2,…)有多少组正整数解。现设想(n+m)个无区别的小球依次摆放在一条直线上,从(n+m)个小球产生的(n+m-1)个间隔中,插入(m-1)个隔板,把小球分成m份,依次为x₁,x₂,…,个。这时,每一种插入法都对应不定方程①的一组正整数解。而这时的插入法数是,从而不定方程①的正整数解的组数是,所以 展开式中共有项。
下面举例说明多项式定理在高中数学中的应用(当然最有意义的应用就是计算三项式的展开，毕竟二项式的展开用二项式定理就可以了)：
例1:的展开式中x³项的系数是多少？
解：本题可以理解为将次数5分配给括号中的3个子项(每项分得非负整数次数且次数之和为5)。设给第一项分得m次，第二项分得n次，要最终形成x³项,则2m+n=3,该方程的非负整数解有两组：
当m=1,n=1时,也就是给第一项和第二项都分配1次,给第三项分配3次,这样产生的系数是:
当m=0,n=3时,也就是给第一项分配0次,给第二项分配3次,给第三项分配2次,这样产生的系数是:
这两个系数加,40+(-80)=-40,所以x³项的系数是-40。
例2:的展开式合并同类项后共有多少项？
解:本题相当于将次数10分配给括号中的5个子项(每项分得非负整数次数且次数之和为10),等价于求不定方程 x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=10 的非负整数解的组数,等价于求 y₁+y₂+y₃+y₄+y₅=15(yi=xi+1) 的正整数解的组数。可以理解为在15个排成一排的无区别的小球中间形成的14个间隔中插入4个隔板,把小球分成5份,每一种插入法对应一组解,从而解的组数是
2、杨辉三角的规律，杨辉三角的规律图解
文章来源于遇见数学 ，作者遇见数学翻译小组
翻译: 姚高华 校对: 李千蔚
英文: https://sourl.cn/qZZiVA
杨辉三角形，又称帕斯卡三角形、贾宪三角形、海亚姆三角形，它的排列形如三角形。因为首现于南宋杨辉的《详解九章算法》得名，而书中杨辉说明是引自贾宪的《释锁算书》，故又名贾宪三角形。古代波斯数学家欧玛尔·海亚姆也描述过这个三角形。在欧洲，因为法国数学家布莱兹‧帕斯卡在1653年的《论算术三角》中首次完整论述了这个三角形，故也被称作帕斯卡三角(Pascal's triangle)。
杨辉三角的前 10 行写出来如下：
在最上面一行的中央写下数字 1
第二行，写下两个 1，和上一行形成三角形
随后的每一行，开头和最后的数字都是 1，其他的每个数都是它左上方和右上方的数之和，就是说除每行最左侧与最右侧的数字以外，每个数字等于它的左上方与右上方两个数字之和。
每个数是它左上方和右上方的数的和
杨辉三角的美妙之处在于：它是如此足够简单，但本身在数学上却拥有丰富的魅力。这是数学中的最令人称奇的事物之一，随便取诸多数学性质中的某个，就能表明它是多么的精彩绝伦。
现在让我们一起来探索藏在杨辉三角里的 10 个你可能不知道的秘密吧！
秘密#1：隐藏数列提示：为了有助于找到隐藏的信息，先将杨辉三角按左对齐方式排列。
左对齐后的杨辉三角
前两列倒没什么特别的地方，第一列均为 1，第二列则为自然数。而第三列就是三角形数(Triangular number)。你可以想到，三角数就是能够组成大大小小等边三角形的点的数目，如下图所示。
三角形数(图自维基)
类似地，第四列是四面体数(Tetrahedral number)，也叫三角锥体数。顾名思义，它们代表由三角形构成的四面体所需要的点的数目，四面体数每层为三角形数。
五层高的锥体共包含 35 个球体
往后每一列都延续这一规律，这一规律描述了由三角形数/四面体数到高维度“单纯形”的拓展。下一列是 5-单纯形数，接着是 6-单纯形数，以此类推。
在几何上，单纯形是某一维度空间中构造最简单的结构，0-单纯形就是点，1-单纯形就是一条线段，2-单纯形就是三角形，3-单纯形就是四面体，4-单纯形就是五胞体。
图自维基
秘密#2: 2 的幂如果你把每一行相加会得到 2 为底的幂，始于 2⁰=1
可以看到每一行的和都是以 2 为底的幂
秘密#3：11 的幂杨辉三角还揭示了 11 为底的幂的值。你要做的就是将每一行的数字挤压到一起。前 5 行足够简单，但出现两位数的时候该怎么办呢？
事实证明，你要做的就是将十位数加到它左侧数字上，比如下图所示的是第六行中出现了上面的情况，如何进行移动以获得 11⁵ 的值
如果出现了三位数同样进位处理即可。
秘密#4: 完全平方数我们可以通过将右边的数与右下的数相加找到第二列中自然数的平方。如：
2² → 1 3=4
3² → 3 6
4² → 6 10=16等等
秘密#5: 斐波那契数列为了揭示隐藏的斐波那契数列，将左对齐的杨辉三角对角线相加。比如下图杨辉三角中发现的斐波那契数列前九个数：1，1，2，3，5，8，13，21，34…
按线条所示相加结果即为斐波那契数列(图自维基)
秘密#6: 谢尔宾斯基三角放大杨辉三角，将所有的奇数用浅红色标识出来，你看到了什么？
是不是出现了著名的分形图谢尔宾斯基三角了呢？
秘密 #7: 组合数学或许杨辉三角中发现的最有趣的关系就是我们如何利用它找到组合数。
杨辉三角的前六行写成组合数的表达形式
回忆一下从 n 个不同元素中选 k 个元素的组合公式。我们发现，对于杨辉三角中的每一行数字，从零开始计数，n 是行数，k 是在这一行中的位置。
所以，如果你想计算 4 选 2，看第 5 行，第 3 个数（因为我们从零开始计数），你会发现，答案是 6.
秘密 #8：二项式的展开在数学上，二项式系数是二项式定理中各项的系数。而二项式系数可排列成杨辉三角，这样可以避免这样的麻烦，直接找到答案。
二项式相乘的标准方法比如，我们来展开(x y)³。既然我们把(x y)的幂提升到了 3，就用杨辉三角第四行的值作为展开项的系数。然后像下面描述的一样填入 x 和 y 的表达式。
提示：每个单项式的次数和等于 (x y) 被赋予的幂值。
秘密 #9: 二项式定理(x y)的幂运算是很酷，但我们多久才会需要解这样的题呢？很有可能，不太经常需要。如果我们能够从上一个章节的结论中总结出一个更有用的形式，会不会更方便？好吧，其实这就是二项式定理：
这个公式也称二项式公式或二项恒等式。
秘密 #10: 与概率之间的联系 — 二项式分布二项式分布描述了具有两种可能结果的实验的概率分布。事实上，杨辉三角的每一行也能揭示了这样的清晰，以最经典就是扔一枚硬币为例吧。
如果考虑抛 3 次硬币，就会有 8 种可能发生的事件：
但其实可以分为 4 类情况：
3 次反面 —— 只有 1 次发生
2 次正面和 1 次反面 —— 有 3 次发生
2 次反面和 1 次正面 —— 有 3 次发生
3 次正面 —— 只有 1 次发生
这注意 1, 3, 3, 1 正是杨辉三角的第 4 行。同样如果抛 5 次硬币，出现 3 正 2 反 的事情会出现 10 次，这也是出现在了杨辉三角第 6 行。
如果设抛硬币得到正面概率为 p，反面概率为 1–p。想知道扔到正面的可能性，我们可以使用二项式分布的概率质量函数（pmf）找到概率的分布， 其中 n 是试验次数， k 是成功次数。
二项式分布的概率质量函数
嗨，这看起很熟悉啊！这几乎和我们前面提到的二项式定理是一样的公式，只是没有求和公式，同时 和 被 和 代替了。
假设成功的概率是0.5(p=0.5)，我们计算扔到正面0次、1次、2次、3次的概率。
在公式中代入 n=3、 k=0, 1, 2, 3 ，得到下面计算结果，请注意杨辉三角里的组合数：1, 3, 3, 1：
扔到正面 0 次、3 次的可能性都是12.5%，而扔到正面1次、2次的可能性都是37.5%，这与上面分析结果是一致的。
这便是看似简单的杨辉三角里的 10 个秘密，是不是很精彩啊！但这并非终点，它还有另外更神奇的性质隐藏其中，等待我们未来继续探索吧。
来源：遇见数学
编辑：他和猫
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