2021年6月17日9时22分，搭载神舟十二号载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射。自此，神舟十二号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，成功将聂海胜、刘伯明、唐洪波三名航天员送入太空，发射取得圆满成功。
在载人飞船运行过程中，需要对其轨迹进行严格的观测和控制。说到载人航天，就不得不提人类历史上第一次登月，阿波罗登月，阿波罗的成功，背后都是卡尔曼滤波器的运用。
那什么是过滤？滤波是从含有干扰的接收信号中提取有用信号的技术，是增强有用信号的数字信号处理过程。在数据通信中，不需要的信号由特定的频带频率和杂波表示，这通常是一个随机过程。卡尔曼滤波是最优滤波中常用的算法，其目的是使信号或状态的最优估计与对应的真值之间的误差方差最小。
斯坦利施密特是第一个实现卡尔曼滤波的人。鲁道夫卡尔曼在参观美国宇航局艾姆斯研究中心时，将施密特方法应用于阿波罗计划的轨道预测。1960年，他提出了离散系统卡尔曼滤波，然后将这种方法推广到连续时间系统。
正因为卡尔曼滤波处理数据来自时域分析，所以它不仅可以处理平稳随机过程，也可以处理非平稳随机过程，所以它被广泛应用于各个领域，如惯性导航、定位系统、经济投资等。
卡尔曼滤波分类
常见的卡尔曼滤波主要分为离散卡尔曼滤波和连续卡尔曼滤波。
A.离散卡尔曼滤波器
使用递归算法是卡尔曼滤波的一大优点，因此离散卡尔曼滤波在工程中得到了广泛的应用。在一个滤波周期内，按照卡尔曼滤波使用系统信息和测量信息的顺序，卡尔曼滤波可以分为时间更新过程和测量更新过程，主要分为以下几个部分。
1.一步预测：根据k-1时的状态估计预测k-1时的状态，用线性最小方差测度估计K-1时的状态量。
2.状态估计方程：通过使用残差(新息)，对状态量进行修正和估计。
其中，它是残差的加权矩阵，称为滤波增益矩阵。
3.滤波器增益矩阵和估计均方误差矩阵的推导：最优的滤波器增益矩阵使得估计均方误差最小。
其中是最佳增益矩阵和最小均方误差矩阵。
4.一步预测均方误差矩阵的推导
离散卡尔曼滤波器的基本方程有以下优点：
(1)递归算法的使用降低了数据的存储容量，提取的信息量随着过滤步数的增加而增加。
(2)只有行驶噪声的统计特性是已知的，因此卡尔曼滤波器可以估计非平稳的估计量。
B.连续卡尔曼滤波
连续卡尔曼滤波器可以在离散卡尔曼滤波器的基础上推导出来。通过对连续系统进行离散化，应用离散卡尔曼滤波的基本方程和导数运算，导出连续滤波方程。
设连续系统的系统方程和测量方程的一般形式为
连续卡尔曼滤波器的预测和更新的一般方程是：
非线性系统的卡尔曼滤波算法
A.扩展卡尔曼滤波器
上述卡尔曼滤波问题假设物理系统的数学模型是线性的，但线性模型只是理想化的，实际工程中很多模型是非线性的。同时，在非线性系统中，如果系统噪声和观测噪声是随机分布的，系统的处理难度会更大。因此，噪声的统计特性一般被设置为实用的，便于数学处理的。非线性系统的数学模型如下
其中w(t)和v(t)是互不相关的零均值白噪声序列，它们也与初始状态X(0)不相关。
针对扩展卡尔曼滤波，利用非线性函数的局部线性特性，对非线性模型进行局部线性化，非线性函数f通常是围绕滤波值进行一阶泰勒展开。
另外，非线性函数H是围绕滤波值的一阶泰勒展开式。
线性化后，将线性卡尔曼滤波器的基本方程应用于扩展卡尔曼滤波器，可以得到扩展卡尔曼滤波器的递推方程。
B.无味卡尔曼滤波
扩展卡尔曼滤波是对非线性系统方程或观测方程进行泰勒展开并保持一阶近似项，这就引入了线性化误差。无迹卡尔曼滤波摒弃了传统的非线性函数线性化，采用卡尔曼线性滤波框架，对一步预测方程使用无迹变换处理均值和协方差的非线性传递。
什么是无缝转换？在原始状态分布中按一定规则选取一些采样点，其均值和协方差与原始状态分布的均值和协方差相等；并将它们带入非线性函数中，得到相应函数值的点集。求这些点的变换均值和协方差。
对于无迹卡尔曼滤波器，描述其非线性系统
根据上述无迹变换，对非线性系统进行变换。与在估计点进行泰勒级数展开然后进行N阶逼近不同，在估计点的连线处进行无迹变换，使适马点集的均值和协方差与原始统计特性相匹配，然后将这些适马点集进行非线性映射，得到状态概率密度函数，实现统计逼近。
C.交互式多模型卡尔曼滤波
鉴于以往的卡尔曼滤波器可以在不知道目标运动模型的情况下实时修正目标的状态参数，具有很好的适应性，但如果目标发生突变，基本卡尔曼滤波器就不能获得很好的效果。交互式多模型卡尔曼滤波是一种软切换算法，用两个或多个模型来描述工作状态，有利于减少单一模型估计误差大的影响。
交互式多模型卡尔曼滤波的思想是假设某个模型在当前时刻有效，然后将前一时刻所有滤波器的状态估计值混合，得到与这个特定模型匹配的滤波器的初始条件，然后对每个模型进行并行滤波，再基于模型匹配似然函数更新模型概率，将所有滤波器修正后的状态估计值合并，得到状态估计。
使用该算法时，滤波器目标运动模型的选择需要从以下几个方面考虑。
1.选择过滤器的数量，包括更精确的模型和粗略的模型。
2.马尔可夫链状态转移概率的选取对滤波器的性能有很大的影响，会直接影响模型误差和模型概率估计的准确性。
3.该算法具有模块化的特点。使用时，在无法预测目标运动规律的情况下，应选择鲁棒性强的通用模型。
作者：凌霄
浙江大学机械电子专业博士，从事智能传感、人机交互、智能机器人控制研究。
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